【数学１】二次関数--最大・最小(2)
最大・最小(2)
今回のテーマ
二次関数の最大最小の2回目です．今回は，変域や関数に文字を含む問題に取り組んでいきます．センター試験だけでなく，二次試験や一般試験でも頻出なので，よく確認しておいてください．
- 定義域に文字が入る最大・最小
- 関数に文字が含まれる最大・最小
を扱います．定期試験などでは苦戦されたこともあるのではないでしょうか．一つ一つ丁寧に見ていきましょう．
演習問題
$\fbox{1}\ 二次関数\ y = x^2 -2x + 2\ の，0 \leqq x \leqq a\ における最大値と最小値を求めよ．$
$\fbox{2}\ 二次関数\ y = x^2 -2ax + 4\ の，0 \leqq x \leqq 2\ における最大値と最小値を求めよ．$
$\fbox{3}\ 二次関数\ y = x^2 -2x + 4\ の，a \leqq x \leqq a+2\ における最大値と最小値を求めよ．$
CheatSheet
演習解答
$\fbox{1}$
$\begin{align} y &= x^2 -2x + 2 \\ &= (x - 1)^2 + 1 \end{align}$
$最小値に焦点を当てると，定義域に軸であるx = 1が含まれるかどうか．$
$最大値に焦点を当てると，x = 0とx=aのどちらのときの値が大きいか．$
$の二つが大事な要素となる．$
$したがって，今回の場合分けは，$
$\begin{cases} 0 \lt a \lt 1&\cdots① \\ 1 \leqq a \lt 2&\cdots② \\ a = 2&\cdots③ \\ a \gt 2&\cdots④ \end{cases}$
$である．$
$①\ \begin{cases} 最小値\ :\ a^2 - 2a + 2 &(x = a)\\ 最大値\ :\ (0)^2 - 2 \times (0) + 2 = 2 &(x = 0) \end{cases}$
$②\ \begin{cases} 最小値\ :\ 1 &(x = 1)\\ 最大値\ :\ (0)^2 - 2 \times (0) + 2 = 2 &(x = 0) \end{cases}$
$③\ \begin{cases} 最小値\ :\ 1 &(x = 1)\\ 最大値\ :\ 2 &(x = 0, 2) \end{cases}$
$④\ \begin{cases} 最小値\ :\ 1 &(x = 1)\\ 最大値\ :\ a^2 - 2a + 2 &(x = a) \end{cases}$
$\fbox{2}$
$\begin{align} x^2 - 2ax + 4 &= (x - a)^2 - a^2 + 4 \end{align}$
$より，軸はx=aであることがわかる．$
$まずは最小値を考える．軸が定義域に対してどこに存在するかで場合分けする．$
$場合分けは次の通り．$
$\ \ \begin{cases} a \lt 0 &(x = 0で最小)\\ 0 \leqq a \leqq 2 &(x =aで最小) \\ a \gt 2 &(x = 2で最小)\end{cases}$
$次に最大値を考える．両端点どちらかが最大値を取るので，ちょうど入れ替わる地点に気をつける．$
$\ \ \begin{cases} a \lt 1 &(x = 2で最大)\\ a = 1 &(x =0,\ 2で最大) \\ a \gt 1 &(x = 0で最大)\end{cases}$
$二つを合わせると，今回考える場合分けは，$
$\ \ \begin{cases} a \lt 0 &(x= 0で最小，x = 2で最大)\\ 0 \leqq a \lt 1 &(x= aで最小，x = 2で最大)\\ a = 1 &(x= aで最小，x = 0, 2で最大) \\ 1 \lt a \leqq 2 &(x= aで最小，x = 0で最大)\\ a \gt 2 &(x= 2で最小，x = 0で最大) \end{cases}$
$したがって，答えは，$
$\begin{cases} 最小値\ :\ 4\ &最大値\ :\ 8 - 4a &(a \lt 0) \\ 最小値\ :\ -a^2 + 4\ &最大値\ :\ 8 - 4a &(0 \leqq a \lt 1)\\ 最小値\ :\ 3\ &最大値\ :\ 4 &(a = 1) \\ 最小値\ :\ -a^2 + 4\ &最大値\ :\ 4 &(1 \lt a \leqq 2)\\ 最小値\ :\ 8 - 4a\ &最大値\ :\ 4 &(a \gt 2) \end{cases}$
$\fbox{3}$
$\begin{align} x^2 - 2x + 4 &= (x - 1)^2 + 3 \end{align}$
$より，軸はx=1であることがわかる．$
$まずは最小値を考える．軸が定義域に対してどこに存在するかで場合分けする．$
$場合分けは次の通り．$
$\ \ \begin{cases} a+2 \lt 1 &(x = a+2で最小)\\ a \leqq 1 \leqq a+2 &(x =1で最小) \\ a \gt 1 &(x = aで最小)\end{cases}$
$次に最大値を考える．両端点どちらかが最大値を取るので，ちょうど入れ替わる地点に気をつける．$
$今回は，軸がx=1で定まっているので，変域の中心に軸がくるタイミングに注意する．$
$\{a + (a + 2)\} \div 2 = a + 1 \ \ \cdots軸の中心$
\[\begin{align} a + 1 &= 1 \\ a &= 0 \end{align}\]
$で，最大値が入れ替わる．したがって場合分けは，$
$\ \ \begin{cases} a \lt 0 &(x = aで最大)\\ a = 0 &(x =a,\ a+2で最大) \\ a \gt 0 &(x = a+2で最大)\end{cases}$
$二つを合わせると，今回考える場合分けは，$
$\ \ \begin{cases} a \lt -1 &(x= a+2で最小，x = aで最大)\\ -1 \leqq a \lt 0 &(x= 1で最小，x = aで最大)\\ a = 0 &(x= 1で最小，x = 0, 2で最大) \\ 0 \lt a \leqq 1 &(x= 1で最小，x = a+2で最大)\\ a \gt 1 &(x= aで最小，x = a+2で最大) \end{cases}$
$したがって，答えは，$
$\begin{cases} 最小値\ :\ a^2+2a+4\ &最大値\ :\ a^2-2a+4 &(a \lt -1) \\ 最小値\ :\ 3\ &最大値\ :\ a^2-2a+4 &(-1 \leqq a \lt 0)\\ 最小値\ :\ 3\ &最大値\ :\ 4 &(a = 0) \\ 最小値\ :\ 3\ &最大値\ :\ a^2+2a+4 &(0 \lt a \leqq 1)\\ 最小値\ :\ a^2-2a+4\ &最大値\ :\ a^2+2a+4 &(a \gt 1) \end{cases}$
【数学１】集合と論証--論証
集合と論証--論証
今回のテーマ
集合と論証，最後のテーマは論証です．センター試験で問われることはあまり例がありませんが，対偶の扱い方，背理法の概念は知っておきましょう．
- 対偶証明法
- 背理法
の二つを扱います．
演習問題
演習解答
【数学１】二次関数--最大・最小(1)
最大・最小(1)
今回のテーマ
二次関数一つ目の山場である，最大最小を扱います．センター試験だけでなく，二次試験や一般試験でも頻出なので，よく確認しておいてください．
- 一次関数の最大と最小
- $y = ax^2$の最大と最小
- $y=ax^2+bx+c$の最大と最小
について解説・問題の出題をしていきます．
演習問題
$\fbox{1}\ 次の関数が，(\ \ )内の変域を持つときの値域を答えなさい．\\ \begin{align}(\ 1\ )\ y &= 3x + 2 &(-2\leqq x \leqq 3) \\ (\ 2\ )\ y &= -x + 4 &(-1\lt x \leqq 5) \\ (\ 3\ )\ y &= (x-2)^2 + 2 &(1\leqq x \lt 4) \\ (\ 4\ )\ y &= x^2 + 6x + 4 &(-2\leqq x \leqq 1) \\ \end{align}$
$\fbox{2}\ 次の関数が，(\ \ )内の変域を持つときの最大値と最小値を答えなさい．\\ \begin{align}(\ 1\ )\ y &= x^2 + 2x +1 &(-2\leqq x \lt 4) \\ (\ 2\ )\ y &= -2x^2 + 6x &(-5\lt x \leqq 2) \\ (\ 3\ )\ y &= x^2 + 8x + 2 &(-8 \leqq x \leqq 0) \\ \end{align}$
$\fbox{3}\ 関数\ y=x^2+4x+k\ (-5 \leqq x \leqq 0)\ の最大値が7であるような定数kはいくつか．$
$\fbox{4}\ f(x) = (x^2+4x+1)^2 -2(x^2+4x+1) + 3\ の最小値を求めよ．$
$\fbox{5}\ x+2y =5\ のとき，x^2+4y^2の最小値はいくつか．$
CheatSheet
演習解答
$\fbox{1}$
$(\ 1\ )\ y = 3x + 2\ \ \ (-2\leqq x \leqq 3)$
\[\begin{align} 3 \times (-2) + 2 &\leqq y \leqq 3 \times 3 + 2 \\ -4 &\leqq y \leqq 11\end{align}\]
$(\ 2\ )\ y = -x + 4\ \ \ (-1 \lt x \leqq 5)$
\[\begin{align} (-1) \times (5) + 4 &\leqq y \lt (-1) \times (-1) + 4 \\ -1 &\leqq y \lt 5\end{align}\]
$(\ 3\ )\ y = (x-2)^2 + 2\ \ \ (1\leqq x \lt 4)$
$\ \ 変域の中に，軸が含まれている．軸からの距離は\ 4\ の方が遠いので，$
\[\begin{align} 2 &\leqq y \lt (4-2)^2+2 \\ 2 &\leqq y \lt 6\end{align}\]
$(\ 4\ )\ y = x^2 + 6x + 4\ \ \ (-2 \leqq x \leqq 1)$
\[\begin{align} x^2+6x+4 &= \bigl(x+3\bigr)^2-9+4 \\ &= \bigl(x+3\bigr)^2-5 \end{align}\]
$\ \ 変域の中に，軸が含まれていない．$
\[\begin{align} \Bigl( \bigl(-2 \bigr) + 3 \Bigr)^2 - 5 &\leqq y \leqq \Bigl( \bigl(1 \bigr) + 3 \Bigr)^2 - 5 \\ -4 &\leqq y \leqq 11 \end{align}\]
$\fbox{2}$
$(\ 1\ )\ y = x^2 + 2x +1 \ \ \ (-2\leqq x \lt 4)$
\[\begin{align}y &= x^2 + 2x +1 \\ &=(x + 1)^2 \end{align}\]
$変域内に軸が含まれている．\\また，軸からの距離は4の方が遠いが，\\4は等号を含んでいないので，$
\[\begin{cases} 最大値\ :\ なし \\ 最小値\ :\ 0\ \ (x = -1) \end{cases}\]
$(\ 2\ )\ y = -2x^2 + 6x \ \ \ (-5\lt x \leqq 2)$
\[\begin{align}y &= -2x^2 + 6x \\ &=-2(x^2 - 3x) \\ &= -2\Bigl\{\Bigl(x - \dfrac32 \Bigr)^2 -\dfrac94 \Bigr\} \\ &= -2\Bigl(x - \dfrac32 \Bigr)^2 + \dfrac92 \end{align}\]
$変域内に軸が含まれている．\\また，軸からの距離は-5の方が遠いが，\\-5は等号を含んでいないので，$
\[\begin{cases} 最大値\ :\ \dfrac92\ \ \Bigl(x = \dfrac32\Bigr) \\ 最小値\ :\ なし \end{cases}\]
$(\ 3\ )\ y = x^2 + 8x + 2 \ \ \ (-8 \leqq x \leqq 0)$
\[\begin{align}y &= x^2 + 8x + 2 \\ &=(x^2 + 8x) + 2 \\ &= \bigl\{\bigl(x + 4 \bigr)^2 -16 \bigr\} + 2 \\ &= \bigl(x + 4 \bigr)^2 - 14 \end{align}\]
$変域内に軸が含まれている．\\また，軸からの距離はどちらも同じなので，$
\[\begin{cases} 最大値\ :\ 2 &(x = -8,\ 0) \\ 最小値\ :\ -14 &(x = -4) \end{cases}\]
$\fbox{3}$
$\begin{align} y &=x^2+4x+k \\ &= (x + 2)^2 - 4 + k \end{align}$
$下に凸な関数なので，最大値を取るのは変域の端点のうち軸から遠い方．$
$したがって，x = -5\ のときに最大値をとる．$
\[\begin{align} 7 &= \bigl\{(-5) + 2\bigr\}^2 - 4 + k \\ k &= 2 \end{align}\]
$\fbox{4}$
$X = x^2 + 4x + 1\ とおく．まずは，Xの値域を考える必要がある．$
$\begin{align} X &= x^2 + 4x + 1 \\ &= (x + 2)^2 - 4 + 1 \\ &= (x+2)^2 -3 \end{align}$
$したがって，X \geqq -3\ である．次に，$
$y = X^2 -2X+3\ について，X \geqq -3\ における最小値を考える．$
$\begin{align} y &= (X - 1)^2 - 1 + 3 \\ &= (X - 1)^2 + 2 \end{align}$
$変域\ X \geqq -3\ に軸を含むので，最小値は，2\ \ (X = 1)$
$また，X = 1\ となるxを次に求めていく．$
\[x^2 + 4x + 1 = 1\ となる\ x\ は，\\ \begin{align} x^2 + 4x &= 0 \\ x(x+4) &= 0 \\ x &= -4, 0 \end{align} \\ 最小値\ :\ 2\ \ \ (x = -4,0)\]
$※前半部分が書けているか確認してください．後半だけでは点になりません．$
$\fbox{5}$
$x + 2y = 5 より，x = -2y + 5$
$\begin{align} x^2 + 4y^2 &= (-2y + 5)^2+4y^2 \\ &= 8y^2 - 20y + 25 \\ &= 8\Bigl(y^2 - \dfrac52 y\Bigr) + 25 \\ &= 8 \Bigl\{\Bigl(y - \dfrac54\Bigr)^2 - \dfrac{25}{16} \Bigr\} + 25 \\ &= 8 \Bigl(y - \dfrac54\Bigr)^2 - \dfrac{25}2 + 25 \\ &= 8 \Bigl(y - \dfrac54\Bigr)^2 + \dfrac{25}2 \end{align}$
$以上より，y = \dfrac54 \ のときに，最小値\ \dfrac{25}2\ を取るとわかる．$
$なお，このときのxは，x+2y=5\ より，x = \dfrac52である．$
\[最小値\ :\ \dfrac{25}2\ \ \ (x,y) = \Bigl( \dfrac52,\ \dfrac54 \Bigr)\]
【数学１】二次関数--二次関数の移動
【数学１】二次関数--二次関数の移動
今回のテーマ
今回取り扱うのは，二次関数の移動です。二次関数以外にも幅広く関数の移動として用いられる概念ですが，ここでは一例として二次関数にフォーカスしてみます。
- 関数の移動について
- 二次関数の表現方法と頂点
- 頂点の移動
がテーマです。
授業動画はこちらをご覧ください
演習問題
$\fbox{1}\ 次の二次関数の軸と頂点を求めよ。また，そのグラフをかけ。\\ (\ 1\ )\ y = (x - 4)^2 + 3\\(\ 2\ )\ y = -2 (x +2)^2 + 2\\$
$\fbox{2}\ 二次関数\ y=x^2\ のグラフを平行移動して，次の頂点に移したとき，それをグラフとする二次関数を求めよ。\\ (\ 1\ )\ (1,\ 4)\\(\ 2\ )\ (-2,\ -2)\\$
$\fbox{3}\ 次の二次関数の軸と頂点を求めよ。また，そのグラフをかけ。\\ (\ 1\ )\ y = x^2 + 4x +5\\(\ 2\ )\ y = -2x^2 -6x + 3\\$
$\fbox{4}\ 二次関数\ y = x^2+4x+2\ \cdots①\ は，二次関数\ y= x^2-2x+5\ \cdots② をどれだけ平行移動したグラフになるか。 \\$
CheatSheet
演習解答
$\fbox{1}\\ (\ 1\ )\ 式より，y=x^2のグラフを\ x\ 軸方向に\ 4，y\ 軸方向に\ 3\ だけ移動したグラフであることがわかる。従って，軸は\ x=4，頂点は(4,\ 3)であり，そのグラフは次のようになる。$
$(\ 2\ )\ 式より，y=-2x^2のグラフを\ x\ 軸方向に\ -2，y\ 軸方向に\ 2\ だけ移動したグラフであることがわかる。従って，軸は\ x=-2，頂点は(-2,\ 2)であり，そのグラフは次のようになる。$
$\fbox{2}\\ \ (\ 1\ )\ y=(x-1)^2+4 \\ \ (\ 2\ )\ y=(x+2)^2-2$
$\fbox{3}\\ \ (\ 1\ )\\ \ \begin{align} y&=x^2+4x+5 \\ &= (x^2+4x+4)+1 \\ &= (x+2)^2 + 1 \end{align}\\ となるので，y=x^2のグラフを\ x\ 軸方向に -2，y 軸方向に\ 1\ だけ移動したグラフであることがわかる。従って，軸は x=-2，頂点は(-2, 1)であり，そのグラフは次のようになる。$
$\\ \ (\ 2\ )\\ \ \begin{align} y&=-2x^2-6x+3 \\ &= -2(x^2+3x)+3 \\ &= -2\Bigl\{\Bigl(x+\dfrac{3}{2}\Bigr)^2- \dfrac{9}{4}\Bigr\} + 3\\ &= -2\Bigl(x+\dfrac{3}{2}\Bigr)^2 + \dfrac{15}{2} \end{align}\\ となるので，y=-2x^2のグラフを\ x\ 軸方向に -\dfrac{3}{2}，y\ 軸方向に\ \dfrac{15}{2}\ だけ移動したグラフであることがわかる。従って，軸は x= -\dfrac{3}{2}，頂点は\Bigl( -\dfrac{3}{2}, \ \dfrac{15}{2}\Bigr)であり，そのグラフは次のようになる。$
$\fbox{4}\\ x^2+4x+2 = (x+2)^2 - 2 \cdots① \\ x^2 - 2x+5 = (x-1)^2 + 4 \cdots② \\より，①は②を\ x\ 方向に，-2-1 =-3\ 平行移動し，\ y\ 方向に -2-4=-6\ 平行移動したものである。$
集合と論証--センター演習
【数学１】集合と論証--センター演習
今回のテーマ
今回はセンター試験の過去問(改題)を用いた演習に取り組んでいきます．
- 一つ目は2015年の数学1から引用しました．
- 二つ目は2012年の数学1から引用しました．
- 詳細な解答は動画でご覧ください．
- 略解は記載しています．
演習問題
${\bf 第一問}\ \ [2013年センター数学１第一問\fbox{改}] \\$
条件$p_1,p_2,q_1,q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\overline{p_2},\overline{q_1},\overline{q_2}$と書く．
( 1 ) 命題「$(p_1\ かつ\ p_2 )\Longrightarrow (q_1\ かつ\ q_2 )$」の対偶は次のうちどれか．
⓪ $(\overline{p_1}\ かつ\ \overline{p_2} )\Longrightarrow (\overline{q_1}\ かつ \ \overline{q_2})$
① $(\overline{p_1}\ または\ \overline{p_2})\Longrightarrow (\overline{q_1}\ または \ \overline{q_2})$
② $(\overline{q_1}\ かつ \ \overline{q_2})\Longrightarrow (\overline{p_1}\ かつ\ \overline{p_2} )$
③ $(\overline{q_1}\ または \ \overline{q_2})\Longrightarrow (\overline{p_1}\ または\ \overline{p_2} )$
( 2 ) 自然数$n$に対する条件$p_1,p_2,q_1,q_2$を次のように定める．
30以下の自然数$n$の中で，
$命題「(p_1\ かつ\ p_2 )\Longrightarrow (\overline{q_1}\ かつ\ q_2 )」$
の反例となるのは，$\fbox{ ア }$と$\fbox{ イウ }$ の二つである．
${\bf 第二問}\ \ [2018年センター数学１第一問\fbox{改}] \\$
実数$x$に関する次の条件$p,q,r,s$を考える．
\[p\ \colon \ |x-2| \gt 2，q\ \colon \ x \lt 0，r \ \colon \ x \gt 4，s\ \colon \ \sqrt{x^2}\gt 4 \]
$q$または$r$であることは，$p$であるための$\fbox{ ア }$．
また，$s$は$r$であるための$\fbox{ イ }$．
⓪ 必要条件であるが，十分条件ではない．
① 十分条件であるが，必要条件ではない．
② 必要十分条件である．
③ 必要条件でも十分条件でもない．
演習解答
${\bf 第一問}$
$(1)\ (p_1\ かつ\ p_2 )\Longrightarrow (q_1\ かつ\ q_2 )の対偶は，\\ (\overline{q_1}\ または \ \overline{q_2})\Longrightarrow (\overline{p_1}\ または\ \overline{p_2} )なので，③が正解\\ \\ (2)\ p_1\ かつ\ p_2 を満たす整数の集合は，\{3,5,11,17,29\}であり，\\ \overline{q_1}\ かつ\ q_2を満たす整数の集合は，\{5,11,17,23\}である．\\ 集合Pにありながら，集合Qにない整数は，3,29の二つである．$
${\bf 第二問}$
$\fbox{ ア } \ \ qまたはrは，「x \gt 4 または x \lt 0」であり，それはpと等しい．\\ したがって，qまたはrであることは，pであるための必要十分条件である．\\\fbox{ イ } \ \ rは，平方根を外すと，「x \lt -4 またはx \gt 4」である．\\条件\ s\cdots②と条件\ r\cdots①は，以下の通り$
$なので，sはrであるための，必要条件である．$
数と式--センター演習
【数学１】数と式--センター演習
今回のテーマ
今回はセンター試験の過去問(改題)を用いた演習に取り組んでいきます．
- 一つ目は2019年の数学1から引用しました．
- 二つ目は2012年の数学1から引用しました．
- 詳細な解答は動画でご覧ください．
- 略解は記載しています．
授業動画はこちらをご覧ください
演習問題
${\bf 第一問}\ \ [2019年センター数学１第一問\fbox{改}] \\ [1] \ a\ を実数とする．\\ 9a^2-6a+1 = \Bigl(\fbox{ ア }a - \fbox{ イ }\Bigr)^2\ である．次に\\ $
$\begin{align} A=\sqrt{9a^2-6a+1}+|a+2| \end{align} \\$
$とおくと\\ $
$\begin{align} A=\sqrt{\bigl(\fbox{ ア }a - \fbox{ イ }\bigr)^2}+|a+2| \end{align}\\
$
$と書き換えられる．\\ $
$(0) \ Aの絶対値と平方根を外しなさい．\\ $
$(1) \ a = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ のとき，A = \sqrt{\fbox{ ウ }}+\fbox{ エ }\ である．\\ $
$(2) \ -2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}のとき，Aの取りうる範囲は\\\begin{align}\dfrac{\fbox{ オ }}{\fbox{ カ }}\leqq A \leqq \fbox{ キ }\end{align}\\である．\\ $
$(3) \ A=2a+13\ となるa\ の値は\\\begin{align}\fbox{ ク },\dfrac{\fbox{ ケ }}{\fbox{ コ }}\end{align}\\である．$
${\bf 第二問}\ \ [2012年センター数学１第一問] \\
[1] \\ (1)\ 不等式 |2x+1| \leqq 3\ の解は\ \fbox{ アイ }\leqq x \leqq\fbox{ ウ }\ である． \\
以下，a\ を自然数とする．\\
(2)\ 不等式\\ \begin{align}|2x+1|\leqq a \end{align} \\ の解は\dfrac{-\fbox{ エ }-a}{\fbox{ オ }}\leqq x \leqq \dfrac{-\fbox{ エ }+a}{\fbox{ オ }}\ である．\\ $
演習解答
${\bf 第一問}$
${\bf 第二問}$
【数学１】集合と論証--命題
集合と論証--命題
今回のテーマ
今回取り扱うのは，命題と条件です．主なtopicは，
- 命題と条件の違い
- 条件と集合のお話
- 必要条件と十分条件
です．
演習問題
演習解答
【数学１】集合と論証--集合
今回のテーマ
今回は，集合と論証の第一回ということで，集合を扱います．
- 要素と集合
- 記号の意味について
- 和集合・共通部分・空集合・補集合
- ド・モルガンの法則
演習問題
演習解答
【数学１】数と式--不等式
不等式
今回のテーマ
今回のテーマは一次不等式です．
- 一次不等式の基本的な解法
- 連立一次不等式
- 絶対値を含む一次不等式の解法
を取り扱っています．
演習問題
CheatSheet
演習解答
