【数学１】集合と論証--命題 - かぽなーた〜高校数学オンライン問題集〜

集合と論証--命題

集合と論証--命題

今回のテーマ

今回取り扱うのは，命題と条件です．主なtopicは，

命題と条件の違い
条件と集合のお話
必要条件と十分条件

です．

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演習問題

${\fbox{1}\ 次の命題の真偽を答えよ。また偽であるならば反例を挙げよ。ただし\ x,y\ は実数とする。\\ ( 1 )\ 2x=4 \Longrightarrow x=2\\ ( 2 )\ x^2 = 9 \Longrightarrow x = 3\\ ( 3 )\ 自然数\ n\ は素数 \Longrightarrow n\ は奇数\\ ( 4 )\ \dfrac{x}{y} \gt 1\Longrightarrow x\gt y\\ }$

${\fbox{2}\ 次の( 1 )～( 4 )について，[　]に次の①～④のいずれかを入れよ。ただしx,y,zはいずれも実数である。\\ ①必要条件であるが，十分条件ではない\\ ②十分条件であるが，必要条件ではない\\ ③必要十分条件である\\ ④必要条件でも十分条件でもない\\ ( 1 )\ -2\lt x\lt 1\ は\ x \lt 2\ であるための[　]。\\ ( 2 )\ xz\gt yz\ は\ x\gt y\ であるための[　]。\\ ( 3 )\ \angle{A}が直角であることは\triangle{ABC}が直角三角形であるための[　]。\\ ( 4 )\ 自然数\ n\ が6の倍数であることは，\ n\ が12の倍数であることの[　]。\\ }$

演習解答

${\fbox{1}\ 次の命題の真偽を答えよ。また偽であるならば反例を挙げよ。\\ ( 1 )\ 2x=4 \Longrightarrow x=2\\ 　　この命題は真である。\\ ( 2 )\ x^2 = 9 \Longrightarrow x = 3\\ 　　この命題は偽である。　反例：x=-3\\ ( 3 )\ 自然数\ n\ は素数 \Longrightarrow n\ は奇数\\ 　　この命題は偽である。　反例：n=2\\ ( 4 )\ \dfrac{x}{y} \gt 1\Longrightarrow x\gt y\\ 　　この命題は偽である。　反例：x=-2,\ y=-1\\ }$

${\fbox{2}\ 次の( 1 )～( 4 )について，[　]に次の①～④のいずれかを入れよ。ただしx,y,zはいずれも実数である。\\ ①必要条件であるが，十分条件ではない\\ ②十分条件であるが，必要条件ではない\\ ③必要十分条件である\\ ④必要条件でも十分条件でもない\\ \\ ( 1 )\ -2\lt x\lt 1\ は\ x \lt 2\ であるための[　]。\\ 　　-2\lt x\lt 1\cdots①\ と\ x \lt 2\cdots②\ を数直線に表すと以下の通り。 }$

${数直線より，①と②の関係は以下のよう。}$

${以上より①は②であるための\ \underline{\textbf{②十分条件であるが必要条件でない}}。\\ \\ ( 2 )\ xz\gt yz\ は\ x\gt y\ であるための[　]。\\ 　　xz\gt yz\ を両辺\ z=-1\ で割ると\ x\lt y\ となるので，xz\gt yz \not\Rightarrow x\gt yである。\\ 　　同様に，x\gt y\ に両辺\ z=-1\ をかけるとxz\lt yz\ となるので，x\gt y\not\Rightarrow xz\gt yz\\ 　　以上よりxz\gt yz\ は\ x\gt y\ であるための\ \underline{\textbf{④必要条件でも十分条件でもない}}。\\ \\ ( 3 )\ \angle{A}が直角である\cdots①ことは\triangle{ABC}が直角三角形である\cdots②ための[　]。\\ 　　\angle{A}が直角であるとき，\triangle{ABC}は直角三角形である。\\ 　　一方，\angle{B}が直角である\triangle{ABC}は直角三角形であるが，この時\angle{A}は直角でない。従って①②の関係は以下の通り。}$

${以上より①は②であるための\ \underline{\textbf{②十分条件であるが必要条件でない}}。\\ \\ ( 4 )\ 自然数\ n\ が6の倍数である\cdots①ことは，\ n\ が12の倍数である\cdots②ことの[　]。\\ 　　n=18\ のとき，n\ は6の倍数であるが12の倍数ではない。\\ 　　一方，n\ が12の倍数の時，n=12k\ (k\in \mathbb{Z})と書ける。このとき，\\ 　　　　　　n\ =\ 12k\ =6(2k)\\ 　　となり，2k\in \mathbb{Z}であるから\ n\ は6の倍数。従って①②の関係は以下の通り。}$

${以上より①は②であるための\ \underline{\textbf{①必要条件であるが十分条件でない}}。\\}$