数と式--センター演習 - かぽなーた〜高校数学オンライン問題集〜

【数学１】数と式--センター演習

【数学１】数と式--センター演習

今回のテーマ

今回はセンター試験の過去問(改題)を用いた演習に取り組んでいきます．

一つ目は2019年の数学1から引用しました．
二つ目は2012年の数学1から引用しました．
詳細な解答は動画でご覧ください．
略解は記載しています．

授業動画はこちらをご覧ください

演習問題

${\bf 第一問}\ \ [2019年センター数学１第一問\fbox{改}] \\ [1] \ a\ を実数とする．\\ 9a^2-6a+1 = \Bigl(\fbox{ ア }a - \fbox{ イ }\Bigr)^2\ である．次に\\ $
$\begin{align} A=\sqrt{9a^2-6a+1}+|a+2| \end{align} \\$
$とおくと\\ $
$\begin{align} A=\sqrt{\bigl(\fbox{ ア }a - \fbox{ イ }\bigr)^2}+|a+2| \end{align}\\
$
$と書き換えられる．\\ $

$(0) \ Aの絶対値と平方根を外しなさい．\\ $

$(1) \ a = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\ のとき，A = \sqrt{\fbox{ ウ }}+\fbox{ エ }\ である．\\ $

$(2) \ -2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}のとき，Aの取りうる範囲は\\\begin{align}\dfrac{\fbox{ オ }}{\fbox{ カ }}\leqq A \leqq \fbox{ キ }\end{align}\\である．\\ $

$(3) \ A=2a+13\ となるa\ の値は\\\begin{align}\fbox{ ク },\dfrac{\fbox{ ケ }}{\fbox{ コ }}\end{align}\\である．$

${\bf 第二問}\ \ [2012年センター数学１第一問] \\
[1] \\ (1)\ 不等式 |2x+1| \leqq 3\ の解は\ \fbox{ アイ }\leqq x \leqq\fbox{ ウ }\ である． \\
以下，a\ を自然数とする．\\
(2)\ 不等式\\ \begin{align}|2x+1|\leqq a \end{align} \\ の解は\dfrac{-\fbox{ エ }-a}{\fbox{ オ }}\leqq x \leqq \dfrac{-\fbox{ エ }+a}{\fbox{ オ }}\ である．\\ $
${(3)\ 不等式\ |2x+1| \leqq a\ を満たす整数\ x\ の個数を\ N\ とする．a=3\ のとき，N=\fbox{ カ }\ である．また，a\ が\ 4,5,6,...\ と増加するとき，N\ が初めて\ \fbox{ カ }\ より大きくなるのは，a=\fbox{ キ }\ のときである．}$

演習解答

${\bf 第一問}$

${9a^2-6a+1 = (3a-1)^2 \\ \fbox{ ア }=3,\fbox{ イ }=1 \\ \begin{align}A &= \sqrt{9a^2 - 6a + 1}+|a+2|\\ &= |3a-1|+|a+2|\end{align}}$

${(0)\ 絶対値を二つ外す必要がある．\\ 3a-1\ の正負と，a+2\ の正負を検討する．\\したがって，a \lt -2, -2 \leqq a \leqq \dfrac{1}{3}, a \gt \dfrac{1}{3}の３区間についてそれぞれ解を検討する．}$

${ A = \begin{cases} (-3a + 1) + (-a-2) &= -4a - 1 &(a \lt -2) \\ (-3a + 1) + (a + 2) &= -2a + 3 &(-2 \leqq a \leqq \dfrac{1}{3}) \\ (3a - 1) + (a + 2) &= 4a + 1 &(a \gt \dfrac{1}{3}) \end{cases} }$

${(1)\ \dfrac{1}{2\sqrt{2}}が，どの区間に含まれるかを検討する．\\ 今回は， \dfrac{1}{2\sqrt{2}}と\dfrac{1}{3}の大小を考える．有理化と通分をすると，\dfrac{3\sqrt{2}}{12}と\dfrac{4}{12}の比較をすればいいことがわかるので，分子の大小を比較すると，\\3\sqrt{2} = \sqrt{18} \gt \sqrt{16} = 4\\ より，\\\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \gt \dfrac{1}{3}\\と言える．したがって，(0)より，\\A =4a + 1 = \sqrt{2} + 1\\が結論づけられる． }$

${ (2)\ 一次関数の値域は変域の端点によって決まるので，\\ \begin{align} A &= -2 \times (-2) + 3 = 7 &(a = -2\ のとき) \\ A &= -2 \times \bigl(\dfrac{1}{3}\bigr) + 3 = \dfrac{7}{3} &(a = \dfrac{1}{3}\ のとき) \end{align} \\ したがって，\\ \dfrac{7}{3} \leqq A \leqq 7 \\ である． }$

${(3)\ すべてのパターンで方程式をとき，変域と解の関係からその解が適しているか不適かを考える．\\}$
${ 1.\ a \lt -2\ のとき，\\ \begin{align} -4a - 1 &= 2a + 13 \\a &= -\dfrac{7}{3} \end{align}\\ これは，範囲の中に入っているので適する解である．\\ }$
${2.\ -2 \leqq a \leqq \dfrac{1}{3}\ のとき，\\ \begin{align} -2a + 3 &= 2a + 13 \\ a &= -\dfrac{5}{2} \end{align}\\ これは，範囲の中に入っていないの不適である．\\ }$

${3.\ a \gt \dfrac{1}{3}\ のとき，\\ \begin{align} 4a + 1 &= 2a + 13 \\ a &= 6 \end{align} \\ これは，範囲の中に入っているので適する解である．\\ 以上より，6\ と\ -\dfrac{7}{3}\ が解である．}$

${\bf 第二問}$
${(1)\\ \ \begin{align}|2x+1| &\leqq 3 \\ -3 \leqq 2x + 1 &\leqq 3 \\ -4 \leqq 2x &\leqq 2 \\ -2 \leqq x &\leqq 1 \end{align}}$

${(2)\\ \ \begin{align}|2x+1| &\leqq a \\ -a \leqq 2x + 1 &\leqq a \\ -a-1 \leqq 2x &\leqq a-1 \\ \dfrac{-a-1}{2} \leqq x &\leqq \dfrac{a-1}{2} \end{align}}$