かぽなーた〜高校数学オンライン問題集〜

高校数学の問題をたくさん集めた問題集です．授業と解説はYouTubeにアップロードしていきます．日々の演習に使ってください．センター試験で満点を目指す人を想定して作っていますが，文理問わず私大の入試レベルや国公立レベルの問題もどんどん出題し，解説していきます．意欲の高い高校２年生・高校１年生にもお勧めです．

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【数学１】集合と論証--集合

数学1 数学1-集合と論証

 

今回のテーマ

今回は，集合と論証の第一回ということで，集合を扱います．

  1. 要素と集合
  2. 記号の意味について
  3. 和集合・共通部分・空集合・補集合
  4. ド・モルガンの法則

 

授業動画はこちらをご覧ください

youtu.be


演習問題

{\fbox{1} \ 次の集合の要素を書け。\\ ( 1 )\ A=\{x|-2\lt x \lt 4,\ x\in \mathbb{Z}\}\\ ( 2 )\ B=\{\sqrt{x}\ |\ 0\leqq x \lt 16,\ \sqrt{x} \in \mathbb{Z}\}\\ }

{\fbox{2} \ 次の集合を条件で記述せよ。\\ ( 1 )\ A=\{-\dfrac{1}{27},\dfrac{1}{9},-\dfrac{1}{3},1,-3,9\ \}\\ ( 2 )\ B=\{\ 0,\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3}\ \}\\ }

{\fbox{3} \ 集合\ A=\{6n+1|n\in \mathbb{N}\}\ が集合\ B=\{2n-1|n \in \mathbb{N}\}\ の部分集合であることを示せ。\\}

{\fbox{4} \ 全体集合\ U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\ の部分集合A,B,Cを\ A=\{0,1,2,3,4,5\},\ B=\{1,3,5,7,9\},\ C=\{2,3,5,7\}\ とするとき、次の集合を求めよ。\\ ( 1 )\ A\cup B\ \ ( 2 )\ B\cap C\ \ ( 3 )\ A\cap B\cap C\ \ ( 4 )\ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\ \ ( 5 )\ \overline{\overline{A} \cup C}\ \ ( 6 )\ (A\cap \overline{B})\cap (B\cap C)\\ }

{\fbox{5} \ 集合\ \overline{(\overline{A}\cap B)\cup \overline{B}}\ を簡単にせよ。\\}

 

演習解答

{\fbox{1}\\ ( 1 )\ A=\{-1,0,1,2,3\}\\ ( 2 )\ B=\{0,1,2,3\}\\ }

{\fbox{2} \ 次の集合を条件で記述せよ。\\ ( 1 )\ A=\{(-3)^n|-3\leqq n \leqq 2,n\in \mathbb{Z}\}\\ ( 2 )\ B=\{\ n\sqrt{3}\ |\ 0 \leqq n \leqq 3,n\in \mathbb{Z}\}\\ }

{\fbox{3} \ 集合\ A=\{6n+1|n\in \mathbb{N}\}\ が集合\ B=\{2n-1|n \in \mathbb{N}\}\ の部分集合であることを示せ。\\ （解答）\\ 集合Aの任意の要素を\ x=6n+1\ (n\in \mathbb{N})とする。\\ x=6n+1\\ \ \ =2(3n+1)-1\\ ここで，n\in \mathbb{N}なので，3n+1\in \mathbb{N}であるから，\\ \begin{align} &&&&x&\in B\\ &&&&\therefore\ A&\subset B\\ \end{align}\\ }

{\fbox{4} \ 全体集合\ U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\ の部分集合A,B,Cを\ A=\{0,1,2,3,4,5\},\ B=\{1,3,5,7,9\},\ C=\{2,3,5,7\}\ とするとき、次の集合を求めよ。\\ ( 1 )\ A\cup B =\{0,1,2,3,4,5,7,9\}\\ ( 2 )\ B\cap C =\{3,5,7\}\\ ( 3 )\ A\cap B\cap C =\{3,5\}\\ ( 4 )\ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\{6,8\}\\ \begin{align} ( 5 )\ \overline{\overline{A} \cup C}&=\overline{\overline{A}}\cap \overline{C}\ （\becauseド・モルガンの法則）\\ &=A \cap \overline{C}\\ &=\{0,1,4\}\\ \end{align}\\}
{\begin{align}( 6 )\ (A\cap \overline{B})\cap (B\cap C)&=A\cap (B\cap \overline{B}) \cap C\\ &=A\cap \phi \cap C\\ &=\phi\\ \end{align}\\ }

{\fbox{5} \ 集合\ \overline{(\overline{A}\cap B)\cup \overline{B}}\ を簡単にせよ。\\ （解答）\\ \begin{align} \overline{(\overline{A}\cap B)\cup \overline{B}} &=(\overline{\overline{A}\cap B}) \cap \overline{\overline{B}}\ （\becauseド・モルガンの法則）\\ &=(\overline{\overline{A}}\cup \overline{B}) \cap B\ （\becauseド・モルガンの法則）\\ &=(A\cap B) \cup (\overline{B} \cap B)（\because分配の法則）\\ &=(A\cap B) \cup \phi\\ &=A\cap B\\ \end{align} }