最大・最小(1)
今回のテーマ
二次関数一つ目の山場である，最大最小を扱います．センター試験だけでなく，二次試験や一般試験でも頻出なので，よく確認しておいてください．
- 一次関数の最大と最小
- $y = ax^2$の最大と最小
- $y=ax^2+bx+c$の最大と最小
について解説・問題の出題をしていきます．
演習問題
$\fbox{1}\ 次の関数が，(\ \ )内の変域を持つときの値域を答えなさい．\\ \begin{align}(\ 1\ )\ y &= 3x + 2 &(-2\leqq x \leqq 3) \\ (\ 2\ )\ y &= -x + 4 &(-1\lt x \leqq 5) \\ (\ 3\ )\ y &= (x-2)^2 + 2 &(1\leqq x \lt 4) \\ (\ 4\ )\ y &= x^2 + 6x + 4 &(-2\leqq x \leqq 1) \\ \end{align}$
$\fbox{2}\ 次の関数が，(\ \ )内の変域を持つときの最大値と最小値を答えなさい．\\ \begin{align}(\ 1\ )\ y &= x^2 + 2x +1 &(-2\leqq x \lt 4) \\ (\ 2\ )\ y &= -2x^2 + 6x &(-5\lt x \leqq 2) \\ (\ 3\ )\ y &= x^2 + 8x + 2 &(-8 \leqq x \leqq 0) \\ \end{align}$
$\fbox{3}\ 関数\ y=x^2+4x+k\ (-5 \leqq x \leqq 0)\ の最大値が7であるような定数kはいくつか．$
$\fbox{4}\ f(x) = (x^2+4x+1)^2 -2(x^2+4x+1) + 3\ の最小値を求めよ．$
$\fbox{5}\ x+2y =5\ のとき，x^2+4y^2の最小値はいくつか．$
CheatSheet
演習解答
$\fbox{1}$
$(\ 1\ )\ y = 3x + 2\ \ \ (-2\leqq x \leqq 3)$
\[\begin{align} 3 \times (-2) + 2 &\leqq y \leqq 3 \times 3 + 2 \\ -4 &\leqq y \leqq 11\end{align}\]
$(\ 2\ )\ y = -x + 4\ \ \ (-1 \lt x \leqq 5)$
\[\begin{align} (-1) \times (5) + 4 &\leqq y \lt (-1) \times (-1) + 4 \\ -1 &\leqq y \lt 5\end{align}\]
$(\ 3\ )\ y = (x-2)^2 + 2\ \ \ (1\leqq x \lt 4)$
$\ \ 変域の中に，軸が含まれている．軸からの距離は\ 4\ の方が遠いので，$
\[\begin{align} 2 &\leqq y \lt (4-2)^2+2 \\ 2 &\leqq y \lt 6\end{align}\]
$(\ 4\ )\ y = x^2 + 6x + 4\ \ \ (-2 \leqq x \leqq 1)$
\[\begin{align} x^2+6x+4 &= \bigl(x+3\bigr)^2-9+4 \\ &= \bigl(x+3\bigr)^2-5 \end{align}\]
$\ \ 変域の中に，軸が含まれていない．$
\[\begin{align} \Bigl( \bigl(-2 \bigr) + 3 \Bigr)^2 - 5 &\leqq y \leqq \Bigl( \bigl(1 \bigr) + 3 \Bigr)^2 - 5 \\ -4 &\leqq y \leqq 11 \end{align}\]
$\fbox{2}$
$(\ 1\ )\ y = x^2 + 2x +1 \ \ \ (-2\leqq x \lt 4)$
\[\begin{align}y &= x^2 + 2x +1 \\ &=(x + 1)^2 \end{align}\]
$変域内に軸が含まれている．\\また，軸からの距離は4の方が遠いが，\\4は等号を含んでいないので，$
\[\begin{cases} 最大値\ :\ なし \\ 最小値\ :\ 0\ \ (x = -1) \end{cases}\]
$(\ 2\ )\ y = -2x^2 + 6x \ \ \ (-5\lt x \leqq 2)$
\[\begin{align}y &= -2x^2 + 6x \\ &=-2(x^2 - 3x) \\ &= -2\Bigl\{\Bigl(x - \dfrac32 \Bigr)^2 -\dfrac94 \Bigr\} \\ &= -2\Bigl(x - \dfrac32 \Bigr)^2 + \dfrac92 \end{align}\]
$変域内に軸が含まれている．\\また，軸からの距離は-5の方が遠いが，\\-5は等号を含んでいないので，$
\[\begin{cases} 最大値\ :\ \dfrac92\ \ \Bigl(x = \dfrac32\Bigr) \\ 最小値\ :\ なし \end{cases}\]
$(\ 3\ )\ y = x^2 + 8x + 2 \ \ \ (-8 \leqq x \leqq 0)$
\[\begin{align}y &= x^2 + 8x + 2 \\ &=(x^2 + 8x) + 2 \\ &= \bigl\{\bigl(x + 4 \bigr)^2 -16 \bigr\} + 2 \\ &= \bigl(x + 4 \bigr)^2 - 14 \end{align}\]
$変域内に軸が含まれている．\\また，軸からの距離はどちらも同じなので，$
\[\begin{cases} 最大値\ :\ 2 &(x = -8,\ 0) \\ 最小値\ :\ -14 &(x = -4) \end{cases}\]
$\fbox{3}$
$\begin{align} y &=x^2+4x+k \\ &= (x + 2)^2 - 4 + k \end{align}$
$下に凸な関数なので，最大値を取るのは変域の端点のうち軸から遠い方．$
$したがって，x = -5\ のときに最大値をとる．$
\[\begin{align} 7 &= \bigl\{(-5) + 2\bigr\}^2 - 4 + k \\ k &= 2 \end{align}\]
$\fbox{4}$
$X = x^2 + 4x + 1\ とおく．まずは，Xの値域を考える必要がある．$
$\begin{align} X &= x^2 + 4x + 1 \\ &= (x + 2)^2 - 4 + 1 \\ &= (x+2)^2 -3 \end{align}$
$したがって，X \geqq -3\ である．次に，$
$y = X^2 -2X+3\ について，X \geqq -3\ における最小値を考える．$
$\begin{align} y &= (X - 1)^2 - 1 + 3 \\ &= (X - 1)^2 + 2 \end{align}$
$変域\ X \geqq -3\ に軸を含むので，最小値は，2\ \ (X = 1)$
$また，X = 1\ となるxを次に求めていく．$
\[x^2 + 4x + 1 = 1\ となる\ x\ は，\\ \begin{align} x^2 + 4x &= 0 \\ x(x+4) &= 0 \\ x &= -4, 0 \end{align} \\ 最小値\ :\ 2\ \ \ (x = -4,0)\]
$※前半部分が書けているか確認してください．後半だけでは点になりません．$
$\fbox{5}$
$x + 2y = 5 より，x = -2y + 5$
$\begin{align} x^2 + 4y^2 &= (-2y + 5)^2+4y^2 \\ &= 8y^2 - 20y + 25 \\ &= 8\Bigl(y^2 - \dfrac52 y\Bigr) + 25 \\ &= 8 \Bigl\{\Bigl(y - \dfrac54\Bigr)^2 - \dfrac{25}{16} \Bigr\} + 25 \\ &= 8 \Bigl(y - \dfrac54\Bigr)^2 - \dfrac{25}2 + 25 \\ &= 8 \Bigl(y - \dfrac54\Bigr)^2 + \dfrac{25}2 \end{align}$
$以上より，y = \dfrac54 \ のときに，最小値\ \dfrac{25}2\ を取るとわかる．$
$なお，このときのxは，x+2y=5\ より，x = \dfrac52である．$
\[最小値\ :\ \dfrac{25}2\ \ \ (x,y) = \Bigl( \dfrac52,\ \dfrac54 \Bigr)\]
