【数学１】集合と論証--論証 - かぽなーた〜高校数学オンライン問題集〜

集合と論証--論証

集合と論証--論証

今回のテーマ

集合と論証，最後のテーマは論証です．センター試験で問われることはあまり例がありませんが，対偶の扱い方，背理法の概念は知っておきましょう．

対偶証明法
背理法

の二つを扱います．

授業動画はこちらをご覧ください

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演習問題

${\fbox{1}\ 次の各命題の，逆・裏・対偶を述べよ。また，その真偽を記せ。ただし\ a,b,x\ は実数とする。\\ ( 1 )\ x=3\ ならば，x^2-7x+12=0\\ ( 2 )\ 「a\gt 0\ または\ b\gt 0」ならば「ある\ x\ について\ ax+b\gt 0」\\ }$

${\fbox{2}\ 次の命題を証明せよ。ただし，a,b\ は実数，n\ は自然数とする。\\ ( 1 )\ a+b\geqq 2\ ならば，a,b\ の少なくとも一方は1より小さくない。\\ ( 2 )\ ab=2ならば，a\not=0\ かつ\ b\not= 0\ である。\\ ( 3 )\ n^2\ が奇数ならば，n\ は奇数である。\\ }$

${\fbox{3}\ 次の命題を証明せよ。\\ ( 1 )\ \sqrt{2}\ が無理数であることを証明せよ。\\ ( 2 )\ 1+\sqrt{2}\ が無理数であることを証明せよ。\\ ( 3 )\ \sqrt{3} +\sqrt{6}\ が無理数であることを証明せよ。\\ }$

演習解答

${\fbox{1}\ 次の各命題の，逆・裏・対偶を述べよ。また，その真偽を記せ。ただし\ a,b,x\ は実数とする。\\ ( 1 )\ x=3\ ならば，x^2-7x+12=0\\ 逆：x^2-7x+12=0\ ならば，x=3\\ 　　偽である。　反例：x=4\\ 裏： x\not=3\ ならば，x^2-7x+12\not=0\\ 　　偽である。　反例：x=4\\ 対偶：x^2-7x+12\not=0\ ならば，x\not=3\\ 　　真である。　証明：x^2-7x+12\not=0\ より，x\not=3,4。\\ ( 2 )\ 「a\gt 0\ または\ b\gt 0」ならば「ある\ x\ について\ ax+b\gt 0」\\ 逆：「ある\ x\ について\ ax+b\gt 0」ならば「a\gt 0\ または\ b\gt 0」\\ 　　偽である。　反例：a=-3,b=-2,x=-1\\ 裏：「a\leqq 0\ かつ\ b\leqq 0」ならば「全ての\ x\ について\ ax+b\leqq 0」\\ 　　偽である。　反例：a=-3,b=-2,x=-1\\ 対偶：「全ての\ x\ について\ ax+b\leqq 0」ならば「a\leqq 0\ かつ\ b\leqq 0」\\ 　　真である。　証明：全ての\ x\ について\ ax+b\leqq 0\ が成り立つには，\ a=0,b\leqq 0であればよい。\\ }$

${\fbox{2}\ 次の命題を証明せよ。ただし，a,b\ は実数，n\ は自然数とする。\\ ( 1 )\ a+b\geqq 2\ ならば，a,b\ の少なくとも一方は1より小さくない。\\ この命題の対偶は，a\gt 1\ かつ\ b\gt 1\ ならば\ a+b\gt 2\ である。\\ a\gt 1\ と\ b\gt 1\ の両辺をそれぞれ足し合わせて，a+b\gt 2\ となるので対偶は真である。\\ 従って題意の命題も真であることが示された。 \\ ( 2 )\ ab=2ならば，a\not=0\ かつ\ b\not= 0\ である。\\ この命題の対偶は，a=0\ または\ b=0\ ならば\ ab\not=2である。\\ a=0\ のとき，ab=0\not=2であり，\\ b=0\ のとき，ab=0\not=2であるので対偶は真である。\\ 従って題意の命題も真であることが示された。 \\ ( 3 )\ n^2\ が奇数ならば，n\ は奇数である。\\ この命題の対偶は，n\ が偶数ならば，n^2も偶数である。\\ n\ が偶数であるとき，n=2k\ (k\in\mathbb{N})とかけるので，\\ n^2=(2k)^2=2(2k^2)であり，k\in\mathbb{N}より，2k^2\in\mathbb{N}なので\ n^2は偶数。\\ 以上より対偶が真であるので，題意の命題も真であることが示された。\\ }$

${\fbox{3}\ 次の命題を証明せよ。\\ ( 1 )\ \sqrt{2}\ が無理数であることを証明せよ。\\ 背理法により証明する。\\ \sqrt{2}\ が有理数であると仮定すると，\\ 　　　\sqrt{2}=\dfrac{b}{a}　（a,bは互いに素な整数，a\not=0）\\ 両辺2乗して，\\ \begin{align} &&2&=\dfrac{b^2}{a^2}\\ &&2a^2&=b^2\\ \end{align}\\}$
${左辺は2の倍数なので，b^2\ は2の倍数である。\\ 従ってb\ も2の倍数なので，b=2b'\ (b'\in \mathbb{Z})とかける。\\ これを上の式に代入して，\\ \begin{align} &&2a^2&=(2b')^2\\ &&a^2&=2b'^2\\ \end{align}\\}$
${右辺が2の倍数なので，a^2\ は2の倍数である。\\ これより\ a\ も2の倍数となるが，これは\ a,b\ が互いに素であることに矛盾。\\ よって\sqrt{2}\ は無理数である。\\ ( 2 )\ 1+\sqrt{2}\ が無理数であることを証明せよ。\\ 背理法により証明する。\\ 1+\sqrt{2}\ が有理数であると仮定すると，\\ \begin{align} &&1+\sqrt{2}&=\dfrac{b}{a}　（a,bは互いに素な整数，a\not=0）\\ &&\sqrt{2}&=\dfrac{b}{a}-1\\ \end{align}\\}$
${ここで，a,b\ が有理数であることから\ \dfrac{b}{a}-1\ は有理数であり，\\ (1)より\sqrt{2}\ は無理数なので，（無理数）＝（有理数）となり矛盾。\\ よって\ 1+\sqrt{2}\ は無理数である。\\ ( 3 )\ \sqrt{3} +\sqrt{6}\ が無理数であることを証明せよ。\\ 背理法により証明する。\\ \sqrt{3} +\sqrt{6}\ が有理数であると仮定すると，\\ 　　　\sqrt{3} +\sqrt{6}=\dfrac{b}{a}　（a,bは互いに素な整数，a\not=0）\\ 両辺2乗して，\\ \begin{align} &&(\sqrt{3} +\sqrt{6})^2&=\dfrac{b^2}{a^2}\\ &&9+6\sqrt{2}&=\dfrac{b^2}{a^2}\\ &&\sqrt{2}&=\dfrac{b^2}{6a^2}-\dfrac{3}{2}\\ \end{align}\\}$
${ここで，a,b\ が有理数であることから\ \dfrac{b^2}{6a^2}-\dfrac{3}{2}\ は有理数であり，\\ (1)より\sqrt{2}\ は無理数なので，（無理数）＝（有理数）となり矛盾。\\ よって\ \sqrt{3} +\sqrt{6}\ は無理数である。\\ }$