最大・最小(2)
今回のテーマ
二次関数の最大最小の2回目です．今回は，変域や関数に文字を含む問題に取り組んでいきます．センター試験だけでなく，二次試験や一般試験でも頻出なので，よく確認しておいてください．
- 定義域に文字が入る最大・最小
- 関数に文字が含まれる最大・最小
を扱います．定期試験などでは苦戦されたこともあるのではないでしょうか．一つ一つ丁寧に見ていきましょう．
演習問題
$\fbox{1}\ 二次関数\ y = x^2 -2x + 2\ の，0 \leqq x \leqq a\ における最大値と最小値を求めよ．$
$\fbox{2}\ 二次関数\ y = x^2 -2ax + 4\ の，0 \leqq x \leqq 2\ における最大値と最小値を求めよ．$
$\fbox{3}\ 二次関数\ y = x^2 -2x + 4\ の，a \leqq x \leqq a+2\ における最大値と最小値を求めよ．$
CheatSheet
演習解答
$\fbox{1}$
$\begin{align} y &= x^2 -2x + 2 \\ &= (x - 1)^2 + 1 \end{align}$
$最小値に焦点を当てると，定義域に軸であるx = 1が含まれるかどうか．$
$最大値に焦点を当てると，x = 0とx=aのどちらのときの値が大きいか．$
$の二つが大事な要素となる．$
$したがって，今回の場合分けは，$
$\begin{cases} 0 \lt a \lt 1&\cdots① \\ 1 \leqq a \lt 2&\cdots② \\ a = 2&\cdots③ \\ a \gt 2&\cdots④ \end{cases}$
$である．$
$①\ \begin{cases} 最小値\ :\ a^2 - 2a + 2 &(x = a)\\ 最大値\ :\ (0)^2 - 2 \times (0) + 2 = 2 &(x = 0) \end{cases}$
$②\ \begin{cases} 最小値\ :\ 1 &(x = 1)\\ 最大値\ :\ (0)^2 - 2 \times (0) + 2 = 2 &(x = 0) \end{cases}$
$③\ \begin{cases} 最小値\ :\ 1 &(x = 1)\\ 最大値\ :\ 2 &(x = 0, 2) \end{cases}$
$④\ \begin{cases} 最小値\ :\ 1 &(x = 1)\\ 最大値\ :\ a^2 - 2a + 2 &(x = a) \end{cases}$
$\fbox{2}$
$\begin{align} x^2 - 2ax + 4 &= (x - a)^2 - a^2 + 4 \end{align}$
$より，軸はx=aであることがわかる．$
$まずは最小値を考える．軸が定義域に対してどこに存在するかで場合分けする．$
$場合分けは次の通り．$
$\ \ \begin{cases} a \lt 0 &(x = 0で最小)\\ 0 \leqq a \leqq 2 &(x =aで最小) \\ a \gt 2 &(x = 2で最小)\end{cases}$
$次に最大値を考える．両端点どちらかが最大値を取るので，ちょうど入れ替わる地点に気をつける．$
$\ \ \begin{cases} a \lt 1 &(x = 2で最大)\\ a = 1 &(x =0,\ 2で最大) \\ a \gt 1 &(x = 0で最大)\end{cases}$
$二つを合わせると，今回考える場合分けは，$
$\ \ \begin{cases} a \lt 0 &(x= 0で最小，x = 2で最大)\\ 0 \leqq a \lt 1 &(x= aで最小，x = 2で最大)\\ a = 1 &(x= aで最小，x = 0, 2で最大) \\ 1 \lt a \leqq 2 &(x= aで最小，x = 0で最大)\\ a \gt 2 &(x= 2で最小，x = 0で最大) \end{cases}$
$したがって，答えは，$
$\begin{cases} 最小値\ :\ 4\ &最大値\ :\ 8 - 4a &(a \lt 0) \\ 最小値\ :\ -a^2 + 4\ &最大値\ :\ 8 - 4a &(0 \leqq a \lt 1)\\ 最小値\ :\ 3\ &最大値\ :\ 4 &(a = 1) \\ 最小値\ :\ -a^2 + 4\ &最大値\ :\ 4 &(1 \lt a \leqq 2)\\ 最小値\ :\ 8 - 4a\ &最大値\ :\ 4 &(a \gt 2) \end{cases}$
$\fbox{3}$
$\begin{align} x^2 - 2x + 4 &= (x - 1)^2 + 3 \end{align}$
$より，軸はx=1であることがわかる．$
$まずは最小値を考える．軸が定義域に対してどこに存在するかで場合分けする．$
$場合分けは次の通り．$
$\ \ \begin{cases} a+2 \lt 1 &(x = a+2で最小)\\ a \leqq 1 \leqq a+2 &(x =1で最小) \\ a \gt 1 &(x = aで最小)\end{cases}$
$次に最大値を考える．両端点どちらかが最大値を取るので，ちょうど入れ替わる地点に気をつける．$
$今回は，軸がx=1で定まっているので，変域の中心に軸がくるタイミングに注意する．$
$\{a + (a + 2)\} \div 2 = a + 1 \ \ \cdots軸の中心$
\[\begin{align} a + 1 &= 1 \\ a &= 0 \end{align}\]
$で，最大値が入れ替わる．したがって場合分けは，$
$\ \ \begin{cases} a \lt 0 &(x = aで最大)\\ a = 0 &(x =a,\ a+2で最大) \\ a \gt 0 &(x = a+2で最大)\end{cases}$
$二つを合わせると，今回考える場合分けは，$
$\ \ \begin{cases} a \lt -1 &(x= a+2で最小，x = aで最大)\\ -1 \leqq a \lt 0 &(x= 1で最小，x = aで最大)\\ a = 0 &(x= 1で最小，x = 0, 2で最大) \\ 0 \lt a \leqq 1 &(x= 1で最小，x = a+2で最大)\\ a \gt 1 &(x= aで最小，x = a+2で最大) \end{cases}$
$したがって，答えは，$
$\begin{cases} 最小値\ :\ a^2+2a+4\ &最大値\ :\ a^2-2a+4 &(a \lt -1) \\ 最小値\ :\ 3\ &最大値\ :\ a^2-2a+4 &(-1 \leqq a \lt 0)\\ 最小値\ :\ 3\ &最大値\ :\ 4 &(a = 0) \\ 最小値\ :\ 3\ &最大値\ :\ a^2+2a+4 &(0 \lt a \leqq 1)\\ 最小値\ :\ a^2-2a+4\ &最大値\ :\ a^2+2a+4 &(a \gt 1) \end{cases}$
