【演習２】一次不等式 - かぽなーた〜高校数学オンライン問題集〜

【演習第２回】一次不等式

【演習第２回】一次不等式

演習問題

${\fbox{1} \ 次の不等式を満たす整数解の個数が4つとなるaの範囲を求めよ。\\ ( 1 )\ 0\lt x\lt a\\ ( 2 )\ 0\lt x\leqq a\\ ( 3 )\ 0\leqq x\leqq a\\}$

${\fbox{2} \ 次の不等式を解け。\\ ( 1 )\ 3|x| + |x-5| \lt 7 \\ ( 2 )\ |2x+|x-3|| \leqq 4\\ }$

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解説

${\fbox{1} \ 次の不等式を満たす整数解の個数が4つとなるaの範囲を求めよ。\\ ( 1 )\ 0\lt x\lt a\\ 数直線は以下の通り。\\}$

${数直線より，整数解は\ x=1,2,3,4\ の４つ。\\ 従って求めるaの範囲は\\ 　　　　　　　　4\lt a\leqq 5\\ \\ ( 2 )\ 0\lt x\leqq a\\ 数直線は以下の通り。\\}$

${数直線より，整数解は\ x=1,2,3,4\ の４つ。\\ 従って求めるaの範囲は\\ 　　　　　　　　4\leqq a\lt 5\\ \\ ( 3 )\ 0\leqq x\leqq a\\ 数直線は以下の通り。\\}$

${数直線より，整数解は\ x=0,1,2,3\ の４つ。\\ 従って求めるaの範囲は\\ 　　　　　　　　3\leqq a\lt 4\\ \\ }$
${\fbox{2} \ 次の不等式を解け。\\ ( 1 )\ 3|x| + |x-5| \lt 7\cdots①\\ }$
$|x| = \begin{cases} x &(x \geqq 0) \\ -x &(x\lt 0) \end{cases}\\ |x-5| = \begin{cases} x - 5 &(x \geqq 5) \\ -x + 5 &(x\lt 5) \end{cases}\\$
${と書けるので，x\lt 0，0\leqq x \lt 5，5\leqq x\ の3つの範囲で場合分けを考える。\\ (ⅰ)\ x\lt 0\ の場合\\ \begin{align} ①&\Leftrightarrow -3x-x+5\lt 7\\ &\Leftrightarrow 4x\gt -2\\ &\Leftrightarrow x\gt -\dfrac{1}{2}\\ \end{align} }$
${x\lt 0\ と合わせて考えて，-\dfrac{1}{2}\lt x \lt 0\\ (ⅱ)\ 0\leqq x \lt 5\ の場合\\ \begin{align} ①&\Leftrightarrow 3x-x+5\lt 7\\ &\Leftrightarrow 2x\lt 2\\ &\Leftrightarrow x\lt 1\\ \end{align}\\}$
${0\leqq x \lt 5\ と合わせて考えて，0\leqq x\lt 1\\ (ⅲ)\ 5\leqq x\ の場合\\ \begin{align} ①&\Leftrightarrow 3x+x-5\lt 7\\ &\Leftrightarrow 4x\lt 12\\ &\Leftrightarrow x\lt 3\\ \end{align}\\}$
${5\leqq x\ と同時に満たすxは存在しないので不適。\\ 以上(ⅰ)～(ⅲ)より，求める範囲は\\ 　　　　　　　　-\dfrac{1}{2}\lt x \lt 1\\ ( 2 )\ |2x+|x-3|| \leqq 4\cdots①\\ (ⅰ)\ x\lt 3\ の場合\\ \begin{align} ①&\Leftrightarrow |2x-x+3|\leqq 4\\ &\Leftrightarrow|x+3|\leqq 4\\ \end{align}\\ }$
${(ⅰ-a)\ x\lt -3\ の場合\\ \begin{align} ①&\Leftrightarrow -x-3\leqq 4\\ &\Leftrightarrow x\geqq -7\\ \end{align}\\ }$
${x\lt -3\ と合わせて考えて，-7\leqq x \lt -3\\ (ⅰ-b)\ -3\leqq x\lt 3\ の場合\\ \begin{align} ①&\Leftrightarrow x+3\leqq 4\\ &\Leftrightarrow x\leqq 1\\ \end{align}\\ }$
${-3\leqq x\lt 3\ と合わせて考えて，-3\leqq x \leqq 1\\ (ⅱ)\ 3\leqq x\ の場合\\ \begin{align} ①&\Leftrightarrow |2x+x-3|\leqq 4\\ &\Leftrightarrow|3x-3|\leqq 4\\ &\Leftrightarrow3|x-1|\leqq 4\\ \end{align}\\ }$
${x\geqq 3\ より，\\ \begin{align} ①&\Leftrightarrow 3(x-1)\leqq 4\\ ①&\Leftrightarrow x-1\leqq\dfrac{4}{3}\\ ①&\Leftrightarrow x\leqq \dfrac{7}{3}\\ \end{align}\\}$
${これと\ x\geqq 3\ を同時に満たすxは存在しないので不適。\\ 以上(ⅰ)～(ⅱ)より，求める範囲は\\ 　　　　　　　　-7\leqq x \leqq -3\\ }$